数学归纳法和“道”

国人对“高端”数学的认识中,有个不可绕过的“1+1=2”的问题,由于一篇成功的报告文学,陈景润几乎成了中国人眼中的数学之神,而“1+1=2”问题也成了全民的谈资。真正的“1+1=2”问题讨论的是数的素数加法分解,描述起来并不太复杂,但背后的名堂超出了我的数学功底。我想说的是很多人简单的认为这个问题谈的是一个橘子加一个橘子等于两个橘子的问题,甚至有人会觉得数学家无聊,这不是显然么。more

其实即使是两个橘子的问题,也是可以大讨论一番的。数的基础认识来自于一个定性分析,有还是没有,有就是一,没有就是零,每个学生学到的第一个数就是一,因为它是定量认识的基石,是一切数数方法的起源,我们可以用老子的“道生一”来形容。第二个概念其实就是“1+1=2”(这个式子似乎还在某年被无聊的英国人评为史上最牛X的公式之一),说的其实是数的后继的概念,用后继的概念,可以产生二和三的概念,老子说“一生二,二生三”,无限制的进行下去,就会产生全体自然数的概念,老子说“三生万物”。

数学归纳法使用的其实正是数数的思想,懂得一,懂得后继,就可以认识全体自然数。数学归纳法分三步,归纳基础(即证明结论关于一的正确性),归纳假设与归纳步骤(即结论证明关于后继的正确性),“一生二,二生三,三生万物”再恰当不过了。

有趣又无奈的是,我们的逻辑认识能力的基础是一和后继,却也限制于此,当年数学家想建立完备的数学逻辑体系的努力被哥德尔不完全定理给粉碎了,他用一定的方法将任一逻辑体系内的所有命题用自然数表示起来,最后发现总会存在在体系内无法证明的命题。像“这句话是假话”的悖论永远无法真正消除。从某种意义上说,我们的认识能力限制在了一和后继上。

总结一句:一部《老子》可以统领宇宙。数学之变诈几何哉,止增笑耳。(此句为扯淡。)

【2010年1月4日初稿/2010年1月6日修改】