阿基米德的杠杆原理求抛物线形面积

近年来人们发现了《阿基米德羊皮书》,其中有阿基米德用杠杆原理求抛物线形的面积的记载,这里面其实已经有微积分思想的雏形了。

 parabola-area

如上图所示,求Rt△ACZ的内接抛物线形ABC的面积。

证明中用到的条件是对于任一割线MX有 MX:OX=AC:AX。

该前提的证明需要用到切线方程,不知是否有更加初等的方法。

延长CK至T,使得KT=CK,平移OX至SH,T为SH中点,则MX:SH=MX:OX=AC:AX=KC:KN=TK:KN,

线段MX和SH关于点K满足杠杆原理。注意到SH,MX的重心分别为T,N,

由于MX的任意性,故△ACZ内部每根AZ的平行线与它在抛物线形ABC内部的对应线段(平移至T)关于点K满足杠杆原理,

即△ACZ的面积与抛物线形ABC的面积关于K满足杠杆原理,

△ACZ的重心在KC的1/3处,故抛物线形的重心T到△ACZ的重心的距离之比为3:1,

故抛物线形ABC的面积为△ACZ的面积的1/3,或△ABC面积的4/3。