自然数数字幂和的周期性

摘要：本文探讨的问题源自数学小游戏“一个数的数字平方和”：即计算任意十进制自然数的各位数字的平方和，并对结果反复计算，形成的序列都会出现循环。通过分析序列单调性及运用抽屉原理，本文证明了序列出现循环节的必然性，并将平方和推广到任意次幂和。本文还探讨了此类周期性现象的本质原因。

关键词：数字幂和 周期性 自然数变换 抽屉原则

1 问题描述

文献¹有介绍数学游戏“一个数的数字平方和”：我们从任何一个正整数开始，比如9246，求出他的各位数字的平方和（81+4+16+36=137）。再对这个数做同样的事情（137给出1+9+49=59），并且对每次所得结果重复这一步骤，这样便得到一个整数序列。对于我们的例子，这个序列是9246，137，59，106，37，58，89，145，42，20，…

那么，不论开始是人们选取什么整数，所得到的序列，要么出现数1（而在1之后显然就永远重复这个数字），要么出现数4（而在4之后就一直循环地出现4，16，37，58，89，145，42，20）。

对上述是问题稍作推广有一般的自然数数字幂和问题\(P_k\)。

\(P_k\):对\(m\)位十进制自然数\(N\)， \(N=\overline{a_{m-1}a_{m-2}...a_{1}a_{0}}=\sum_{0\leqslant i< m}{a_i\times 10^i}(a_i\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\})\)

其\(k\)次数字幂和为 \(S_k(N)=\sum_{0\leqslant i<m}a_i^k\) 定义其复合 \(\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} S_k^{(0)}(N)&=N \\ S_k^{(t)}(N)&=S_k^{(t)}(S_k^{(t-1)}(N)) \\ \end{aligned} \right. \end{equation}\) 则序列\(\{S_k^{(t)}(N)\}\)一定会出现周期循环，即对任意充分大的t，存在周期T，使得\(S_k^{(t)}(N)=S_k^{(t+T)}(N)\)。而且循环节\(\{S_k^{(t)}(N),S_k^{(t+1)}(N)...S_k^{(t+T)}(N)\}\)的种类是有限的。

“一个数的数字平方和”描述的即为问题\(P_2\)。

2 P2的证明

2.1 N充分大时的序列单调性分析

通过观察不难做直观上的猜测：\(N\)充分大时，\(N\)的数字平方和比\(N\)小。即 \(S_2(N)<N (N\geqslant N_0)\) 下面分析得到一个下界\(N_0\)，对于\(m\)位数\(N\)有\(N\geqslant10^{m-1},S_2(N)\leqslant81m\)，令\(81m<10^{m-1}\)得\(m\geqslant4\)，则此时必有\(S_2(N)<N\)。于是我们得到一个下界\(N_0=1000\)。

于是对于充分大的N，序列\(\{S_2^{(t)}(N)\}\)的前面一些项是递减的，直至出现小于\(N_0\)的项\(S_2^{(t_0)}(N)\)，且\(t_0\leqslant N\)。

2.2 验证性证明

由前述分析，对于任意N，序列\(\{S_2^{(t)}(N)\}\)会一定出现小于\(N_0\)的项，因此我们有如下引理\(P_2'\)。

\(P_2'\): 如果\(N<N_0\)时，\(P_2\)成立，则对于任意\(N\)，\(P_2\)成立。

用计算机程序甚至手动筛除都不难验证，对于1~999的自然数，\(P_2\)成立。出现的循环节共有两种，不动点{1}和{4,16,37,58,89,145,42,20}。于是对于任意\(N\)，\(P_2\)成立。至此我们得到了\(P_2\)的完整证明，注意到我们逐一验证了\(N<N_0\)的自然数，这是一个平凡的做法。

3 Pk的证明

3.1 N充分大时的序列单调性分析

类似2.1，我们可以找到一个下界\(N_0\)，使得\(S_k(N)<N (N\geqslant N_0)\)。对于\(m\)位数有\(N\geqslant10^{m-1},S_k(N)\leqslant9^k\times m\)，令\(9^k\times m<10^{m-1}\)。\(A(m)=9^k\times m\)是线性函数，\(B(m)=10^{m-1}\)是指数函数，故不等式必有解\(m\geqslant m_0\)。总能找到下界\(N_0=10^{m_0}\)。如\(k=3\)时，取\(m_0=5, N_0=10000\)。

于是对于充分大的\(N\)，序列\(S_k^{(t)}(N)\)的前面一些项是递减的，直至出现小于\(N_0\)的项$S_k^{(t_0)}(N)$，且$t_0<N$。

3.2 Pk的构造性证明

类似2.2，我们有如下引理\(P_k'\)。

\(P_k'\):如果\(N<N_0\)时，\(P_k\)成立，则对于任意\(N\)，\(P_k\)成立。

对于具体的\(k\)值，我们依然可以用2.2中的方法：先可以找到下界\(N_0\)，然后验证所有小于\(N_0\)的自然数\(P_k\)成立。

如对\(k=3\)，验证1~9999的自然数，发现\(P_3\)成立，于是对于任意\(N\)，\(P_3\)成立。出现的循环节有如下9种：

{1},{153},{370},{371},{407},{55,250,133},{136,244},{160,217,352},{919,1459}。

但对于一般的\(P_k\)，我们要证明循环节的存在性，不能去一一验证。下面用抽屉原则给出一个构造性证明。

首先换个角度理解循环节的存在，即序列\(\{S_k^{(t)}(N)\}\)中出现重复项。我们有如下引理\(P\)。

\(P\)：对于任意\(N\)，若序列\(\{S_k^{(t)}(N)\}\)中出现重复项，则\(P_k\)成立。下面我们证明对于\(N<N_0$，$\{S_k^{(t)}(N)\}\)中必然出现重复项。

我们称\(N<N_0\)为震荡域，反之为下降域。序列前后两项，可能由震荡域进入下降域，但由3.1的分析知，序列经过有限的长度，一定会再进入震荡域。于是序列在震荡域取值可达\(N_0\)次（实际上是无穷次），而震荡域的不同值小于\(N_0\)，由抽屉原则知，必有两次取值相同，序列中必然出现重复项。另外循环节种类小于\(N_0\)，一定是有限的。至此由引理\(P\)可知\(P_k\)得证。

4 进一步的思考

对于问题\(P_k\)中的循环节也有相关研究，比如\(P_k\)中的$k$位不动点被称为回归数，如$k$取3时共有4个回归数153、370、371、407。²

证明过程本质上与进制关系不大，事实上对于任意进制，自然数数字幂和都有周期性，这里也不再赘述。

自然数数字幂和是一种定义域与值域都是自然数的函数，不妨称这种函数为自然数变换。

对于自然数\(N\)反复施用自然数变换S，得到序列\(\{S_k^{(t)}(N)\}\)，由\(P_k\)的证明不难理解序列出现循环的充要条件是\(N\)重复大时，\(S(N)<N\)。序列会逐渐减小直至到达一个有限的震荡域出现循环。这里就不再给出具体的证明了。

参考文献：