凯利公式

假如你拿了1万块钱去参与一种赌博,随便你下注几块钱,如果赢了就给你翻倍,如果输了就没了,现在假设胜率有60%,那么每次应该下注多少钱才能获得最大的收益呢?

傻逼兮兮的人可能一次就梭哈了,反正赢的概率多过输的概率嘛。但是还是有40%的概率一下就输光了。

假设我们每次按余下本金的一定比例下注,这个比例应该是多少合适呢?假设我们赌了100次,那么大概赢了60次,输了40次,设比例为$x$,则盈利

$f(x)=10000*(1+x)^{60} *(1-x)^{40}$

需要求它的最大值。

一般的,假设每投入1,可能获得额外收益W,或者失去本金L,胜率为p,败率为q,则期望收益

为了求它的最大值,先求个导数。

不难求得

当L=1时,即一输就输光时,这个公式称为凯利公式。对本文开头的问题,p=0.6,q=0.4,b=1, 可以算出x=20%。所以,应该每次投入现有本金的20%。假设胜率为0.9,则x=0.8。假设胜率为0.5,则x=0,永远不要参与对半开的赌博,如果胜率小于0.5,就更不能参加了。

凯利公式只是一个近似,它有很多假设,假设可以多次博弈,假设资金无限可分,假设胜率稳定,和投资活动有很多去呗,但还是给我们进行投资提供了一个大致的估算工具,从凯利公司的角度来看,保留一定的现金留作翻本是很有必要的。概率计算在投资中很有必要,虽然投资中盈利的概率估算本身也算是玄学了,但是正如格雷厄姆说的,我们不能因为定量计算很困难就放弃定量计算。