硬币组合问题

假设我们有面值为1,2,5,10,25的硬币,那么组成面值共有多少种可能的情况?这是美分的情况。

一般的假设我们有面值为的硬币,其中,那么组成面值共有多少种可能的情况?

按照一般找钱的顺序,我们从大钱开始考虑,这样剩下的面值才能比较迅速的减小。

1.递推式1

考虑美分的情况,假设我们要组成面值101,记组合数为f(101),如果使用了一个25分的,那么剩下的情况数应该是f(76),但是注意,这个f(76)已经不能使用25分的硬币了,简单起见,我们把硬币种类编号引入组合数,当可以用编号1~k时,组合数记为f(m,k),所以上面的分析可以记为组合数f(101,5),使用了一个25分时,剩下的情况数为f(76, 4),针对25美分的使用,可以得到下表

25分个数 剩余
0 f(101, 4)
1 f(76, 4)
2 f(51, 4)
3 f(26, 4)
4 f(1, 4)

将第二列的数字相加,就得到了结果。现在要求的问题简化了,只需要考虑面值为1,2,5,10的情况,同样的以f(76, 4)为例,可以化简为f(76,3),f(66,3)…f(6,3),这样递归迭代下去,我们最终要解决的子问题是f(m,1),用一种面值来组成m,显然,只需要面值m能被整除即可,由此结束了递归迭代。

按照这种思路,直接写成Java代码如下:

    public int countCoins(int n, int[] coins) {
        if(n < 0) return 0;
        return countCoins(n, coins.length - 1, coins);
    }

    public int countCoins(int n, int level, int[] coins) {
        if(level == 0) {
            return n % coins[0] == 0 ? 1 : 0;
        }
        int ways = 0;
        for(int i = 0; i*coins[level] <= n; i++) {
            ways += countCoins(n-i*coins[level], level-1, coins);
        }
        return ways;
    }

2. 递推式1的动态规划

在1中,我们通过不断的减去大的硬币面值,求解各个子问题,得到最终的结果,不难发现,这些子问题存在很多重复,比如考虑如下的计算路径:f(101, 5)->f(76, 4)->f(16,3)…和f(101, 5)->f(26, 4)->f(16,3)…后面的计算时完全重合的,因此,如果把这些计算结果缓存起来,可以大大提高计算的速度,这就是动态规划的思想。我们需要建立如下的一张表,以下考虑计算f(6,5)

  0 1 2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 1 2 2 3 3 4
5 1 1 2 2 3 4 5
10 1 1 2 2 3 4 5
25 1 1 2 2 3 4 5

注意到我们的递推式,每次分解出很多项,那么在动态规划填表时,也就需要很多项目相加才行。动态规划时,先填满第一行,再根据递推式计算第二行,直到计算最后一行。

由此得到Java代码如下:

    public int countCoins(int n, int[] coins) {
        if(n < 0) return 0;
        int[][] ways = new int[coins.length][n + 1];
        for(int j = 0; j <= n; j++) {
            ways[0][j] = j % coins[0] == 0 ? 1 : 0;
        }
        for(int i = 1; i < coins.length; i++) {
            for(int j = 0; j <= n; j++) {
                if(j < coins[i]) {
                    ways[i][j] = ways[i-1][j];
                }
                else {
                    for(int k = 0; k*coins[i] <= j; k++) {
                        ways[i][j] +=  ways[i-1][j-k*coins[i]];
                    }
                }
            }
        }
        return ways[coins.length - 1][n];
    }

注意到最后一行其实只需要计算最后一个元素。(因为它只跟前一行相关),所以上述代码还可以修改节约时间,不过代码会变得不太美观,这里就不写了。

3 递推式2及其动态规划

我们发现,递推式1中,一项被分解成多项,导致计算过程中做了相当多的加法,能不能简化一下呢?

还是考虑f(101,5),我们可以这样考虑,首先不使用25美分,情况数为f(101,4),其次是使用25美分的情况,那么至少要使用一个25美分,如果去掉这个25美分,则相当于剩下的76美分,既可以使用25美分,也可以不用,实际上就是f(76,5),由此得到递推关系,这样在动态规划填表时,每次取上一行的数与本行之前相距的数相加。注意当

由此得到动态规划的代码如下:

    public int countCoins(int n, int[] coins) {
        if(n < 0) return 0;
        int[][] ways = new int[coins.length][n + 1];
        for(int j = 0; j <= n; j++) {
            ways[0][j] = j % coins[0] == 0 ? 1 : 0;
        }
        for(int i = 1; i < coins.length; i++) {
            for(int j = 0; j <= n; j++) {
                if(j < coins[i]) {
                    ways[i][j] = ways[i-1][j];
                }
                else {
                    ways[i][j] = ways[i-1][j] + ways[i][j-coins[i]];
                }
            }
        }
        return ways[coins.length - 1][n];
    }

4 递推式2的简化

仔细考察我们填表的过程,填第二行时,左边的较小元素和第一行一样,右边较大的元素在第一行的基础上加上本行较小的一个元素,所以其实只需要存储一行元素就行了,计算 时, 在左边已经计算出来了,而直接使用自身存储便可。由此得到更加简化的动态规划代码:

    public int countCoins(int n, int[] coins) {
        if(n < 0) return 0;
        int[] ways = new int[n + 1];
        for(int j = 0; j <= n; j++) {
            ways[j] = j % coins[0] == 0 ? 1 : 0;
        }
        for(int i = 1; i < coins.length; i++) {
            for(int j = coins[i]; j <= n; j++) {
                ways[j] += ways[j-coins[i]];
            }
        }
        return ways[n];
    }

考虑第一行,如果设置ways[0] = 1,j<coins[0]时,ways[j] = 0,那么第一行同样可以用递推式ways[j] += ways[j-coins[i]]得到。代码可进一步简化如下:

    public int countCoins(int n, int[] coins) {
        if(n < 0) return 0;
        int[] ways = new int[n+1];
        ways[0] = 1;
        for(int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for(int j = coins[i]; j <= n; j++) {
                ways[j] = ways[j] + ways[j-coins[i]];
            }
        }
        return ways[n];
    }