房贷的计算 - 易飞滔Todd

之前我讨论过分期付款的实际利率，发现比较坑。今天再来讨论一下房贷，房贷的计算有很多在线的计算器，输入贷款额度，利率，以及贷款年数，选择等额本息还是等额本金还款，就可以得到每月还款的数值，下面我来分析一下这里面的原理，并简单讨论一下两种还款方式的优劣，以及提前还款是否有必要。

1.一个例子

假设贷款100万，年利率5%，贷款20年，使用前述计算器计算，得到等额本息还款每月6,599.56元，等额本金还款首月8,333.33元，以后每月递减17.36元。一般的，假设借款总额为T，年华利率为p，贷款年限为Y。

2.基本原理

房贷的利率是很厚道的实际利率，什么叫实际利率呢？就是按你实际占用银行资金的多少来计算利息。当你按月归还了一定的本金了以后，下个月计息的本金就变少了，而不像消费贷的分期付款，计息的本金一直是不变的，才出现实际利率比名义利率高很多的情况。无论是等额本息还是等额本金还款，利率都是实际利率，而按目前的商贷利率4.90%，公积金利率3.25%，甚至还有折扣，所以房贷是普通人能拿到大额低息贷款的最重要的方式。

按照实际利率，如果上一期还欠本金$T$，年化利率为p，本期归还本金C，则本月须还款

M=C+T*p/12，下一期本金变为T-C。

3.等额本金还款

等额本金还款每个月还款数额逐渐减少，看起来比较麻烦，但是在原理和数学计算上其实更简单。首先，我们把借的本金T摊分到所有的月份，为$C=T/(Y\cdot 12)$，则首月还款为$M =C+T\cdot p/12$，T=1,000,000，p=5%，Y=20时，计算得到C=4166.67元，M=8333.33元，以后每月本金减少C，相应的利息减少$C\cdot p/12$，为17.36元。可以看到，等额本金还款每月还的本金不变，而利息则在不断减少。

4.等额本息还款

等额本息还款每个月还款数额相同，看起来比较简单，但是原理时数学计算更复杂，关键在于依然要符合2中所说的基本原理，随着待还本金的减少，每月还的利息会减少，但是要求每月归还的本金和利息加起来应该相同，这样的话，每个月归还的本金应该越来越多，才能维持这个平衡，究竟多多少，需要一个细致的计算过程。

我们知道最后一个月归还本金和利息后，贷款还完了，可以据此倒推。假设最后一个月还本金$M_n$，则利息为$M _n\cdot p/12$，还款总额为$C_n=M_n\cdot(1+p/12)$，往前推一个月，假设这个月归还本金$M_{n-1}$，则利息为$(M_n+M_{n-1}))\cdot p/12$，归还总额为$C_{n-1}=M_{n-1}+(M_n+M_{n-1})\cdot p/12$，由于$C_n=C_{n-1}$，不难推出$M_ {n-1}= M_n/(1+p/12)$，一般的$C_k=M_k+\sum_{i=k}^n{M_i}\cdot p/12$，由$C_k=C_{k+1}$ 得出$M_{k+1} = M_k\cdot (1+p/12)$

所以每月还款的本金是一个等比数列，它的比值比率是$1+p/12$，简单起见，我们计算最后一个月的本金$M_n$,则

$T = \sum_{t=0}^{Y\cdot 12-1}{}M_n/(1+p/12)^t$，则$M_ n= T \cdot \frac {1-(1+p/12)^{-1}} {1-(1+p/12)^{-Y\cdot 12}}$，每月还款额度为$C=C_n=M_n\cdot(1+p/12)=T\cdot \frac {p/12} {1-(1+p/12)^{-Y\cdot 12}}$，第一个月还款$M_1=M_n/(1+p/12)^{Y\cdot12-1}=T\cdot \frac {p/12} {(1+p/12)^{Y\cdot 12}-1}$，以后每月等比增加$1+p/12$，T=1,000,000，p=5%，Y=20，计算得到C=6,599.56，其中第一个月归还本金$M_1$为2432.89元，每月等比增加1.0041667倍。

5 比较与提前还款

由于等额本金与等额本息还款方式的利率都是实际利率，所以在资金效率上，两者其实没有任何差别，网上有人分析说等额本息还款刚开始还的利息多本金少，所以提前还款相对等额本金的提前还款不划算，我认为是没有道理的，因为银行始终是按你实际占用的本金额度来收取利息的，而提前还款则是将余下的本金一次性还完。而两种贷款方式的选择，乃至是否提前还款，都不影响资金效率，那么该如何选择呢？

首先比较一下等额本金和等额本息，等额本金刚开始还款多，以后还款少，其中归还本金每月固定，而等额本息始终还款数额一样，其中归还本金每月增多，选择哪种方式，取决与你的工资收入水平以及占用资金后资金的投资效率，首先，如果你现在收入少，估计以后收入会不断增长，那么为了减轻现在的负担，自然是刚开始少还一点好，这时建议等额本息，而如果你现在收入高，以后还很难说，那么建议等额本金。但是如果你虽然现在钱很多，但是你的投资收益要高于贷款利率，那么还是建议等额本息，这样你能更多更久的占用银行资金来赚取利率差。

实际上如果你够钱全款买房，但是投资水平超过房贷利率，那么使用房贷依然是一个很好的选择，这种低息高额贷款是很难得的，而哪些炒房团，往往也是通过房贷负债加杠杆迅速的增长自己的财富的。

涉及到提前还款也是如此，如果你当下的投资收益率高过贷款利率，那么没有必要提前还款，反之投资收益率低于贷款利率，则建议提前还款，这跟等额本金或等额本息其实没什么关系。