愚かな者は一度で全額を賭けてしまうだろう。勝つ確率のほうが負ける確率より高いのだから。だが40%の確率で、一瞬にして無一文になる。

毎回、残った元手の一定の割合を賭けるとしよう。その割合はいくらが適切か。100回賭けて60回勝ち、40回負けるとすれば、割合を$x$として、利益は

$f(x)=10000*(1+x)^{60} *(1-x)^{40}$

この最大値を求めればよい。

一般に、1を投じるごとに追加の収益Wを得るか、元本Lを失うかするとし、勝率をp、敗率をqとすれば、期待収益は

$$f(x)=(1+Wx)^{p} (1-Lx)^{q} $$

最大値を求めるため、まず導関数を求める。

$$f^{’}(x)=Wp(1+Wx)^{p-1} (1-Lx)^{q} -L(1-p)(1+Wx)^{p} (1-Lx)^{q-1}=0$$

容易に次が得られる。

$$x=\frac {bp-q} {bL}$$

L=1、つまり負ければ元手がすべて失われるとき、この式をケリーの公式と呼ぶ。冒頭の問題ではp=0.6、q=0.4、b=1であり、x=20%と計算できる。つまり毎回、現在の元手の20%を投じるべきだ。勝率が0.9ならx=0.8。勝率が0.5ならx=0、五分五分の賭博には決して参加してはならない。勝率が0.5を下回るなら、なおさらである。

ケリーの公式は近似にすぎず、多くの仮定を置いている。何度も繰り返し博弈できること、資金が無限に分割できること、勝率が安定していること。投資の営みとは隔たりが大きい。それでも投資の大まかな見積もりの道具にはなる。ケリーの公式から見れば、一定の現金を残し、それを元手に立て直す備えをしておくことは十分に必要だ。投資において確率の計算は欠かせない。投資における勝率の見積もりそのものが、いわば玄学めいているとしても、グレアムが言ったように、定量計算が難しいからといって定量計算を放棄することはできない。

この本はアメリカの状況を書いたものなので、多くの内容は原理的な参考価値しかなく、具体的な応用には中国の実情を参照する必要がある。だから私もざっと目を通しただけだが、本書が全体を貫く形でまとめた個人財務管理の15原則は、強い普遍性を持っている。ここに抜き書きして列挙し、ついでに簡単な私の理解を述べておく。

1. リスクとリターンのトレードオフ：リスクとリターンは概して正の相関がある。だから「高リターン・低リスク」をうたうファイナンシャルプランナーは、ほぼ詐欺師と定義してよい。ただし絶対ではない。知識の差、情報の差によって、低リスクで比較的高いリターンを得ることはありうるし、逆に低リターンの商品が高リスクであることもある。ある種のネット貸金プラットフォームがそうだ。
2. 貨幣の時間価値：複利を理解しなければ投資は理解できない。中国では義理で金を貸し借りするが、十年前に1万元貸して十年後に1万元返してもらう、年率7%で計算すればほぼ倍になっている。
3. 分散はリスク低減に資する：いわゆる「東が暗ければ西が明るい」。ただし投資対象間の相関に注意すること。
4. すべてのリスクが同じではない：分散はシステミックリスクを消せない。経済全体が崩壊すれば、どの株や債券を買ってもほぼ終わりだ。
5. 競争的な投資市場の根源：入札の仕組みを通じて、市場は概して効率的であり、市場に勝つことはきわめて難しい。いわゆる「豚もそう考えている」という冗談のとおりで、要するにこの原理である。年率50%から100%のリターンを株式市場で得たいと言う人をよく聞くが、賭博を楽しむように祈るしかない。
6. 税制要因が個人の財務意思決定に与える影響：カジノを開く者が儲かる。
7. 流動性の重要性：高い流動性はプレミアムを、低い流動性はディスカウントをもたらす。生活費の3〜6か月分は確保しておくべきで、T+0やT+1で換金できるMMFや逆レポなどの商品に振り向けられる。
8. 計画がなければ何も成らない：私は2015年末から財務の総括と計画を始めたが、効果は明らかだと感じている。
9. 知識が最良の保障である：カモになるな。
10. 重大な災害や事故の脅威から身を守る：掛け捨て保険こそ保険の本質である。
11. 投資の時間軸：株式投資は少なくとも5年は持てるものでなければならない。ビットコインは私は少なくとも20年持つ。
12. 委託・代理問題——販売手法に注意：広告を見ず契約書を見るほうが確かだと思う。
13. まず自分に支払う：金を受け取ったら、まず貯蓄・投資か自己研鑽を考える。
14. 金がすべてではない：正しすぎるほどの陳腐な言葉だ。
15. さあ、行動を始めよう！投資と資産管理は早いほどよい。これまで始めていなかった人は今日から始めればよい。