私は三日かけて、途切れ途切れに『数学の覚醒——より明晰に考えることを学ぶ』を読み終えた。読んでいる間、妻とずっと高強度の議論をしていた。小中学校の数学の習得について、これまでの成績と現在なお残っている数学能力から見れば、私は優等生で、妻は落ちこぼれだった。それでも二人でこの本を熱く議論できた。これは一般の意味での数学の本ではなく、数学者が数学を研究するときの心理的風景を明らかにしようとするもので、むしろ心理学か哲学の本に近い。

この本を読み終えたとき、私はスマホを置いて妻に言った。少し泣きたい、と。ただ、微信読書には少なからぬ低評価もあった。一冊の本を理解するには、あるいは作者と強い共鳴を生むには、一定の機縁が要るのだと思う。私の最初の四十年の人生をいくつかのキーワードで描くなら、「数学」という語を漏らすことはできない。それは私の初期の学習に強い自信を築いたが、後には私を深い疑惑と自己不信に陥れた。

私の学習、とりわけ数学の学習について明確な記憶があるのは小学中学年からだ。農村がまだ非常に貧しく乏しかった時代、学習参考書はありふれたものではなかった。しかし両親は金を出して、街の新華書店で『毎日十五分』という参考書を買ってくれた。その数学の部分には特に難しい問題があり、今の基準で言えば、比較的やさしい算数オリンピックの問題を入れたようなものだった。両親は、いわゆる小学生に分かる方法でこうした問題を解くすべを知らなかった。しかし二人とも一応きちんと方程式を学んだことがあり、その夏休み、暑さをしのぐ幾日かの午後を費やして、方程式でこれらの問題を解くことを私に教えてくれた。当時の小学校の算数では方程式を学ばなかった（今の小学校の教科書はもっと早く方程式を導入しており、小学生が簡単な方程式を覚えるのはそれほど難しくないことが実証されている）。

私は突然、非常に手に馴染む武器を手に入れたと感じた。この参考書を片づけただけでなく、祖父が出してくれた多くの民間の数学難問も、方程式で解けば瓜を切るように簡単だった。正解すればお年玉がもらえ、褒めもされた。数学の授業も同じだった。人は一般に、数学の学習に長け、数学の成績がよい者は頭のよい者だと考え、頭のよい者は何でも学べる、物理も化学も、国語も英語も、と考える。そしてこれが自己成就的な予言になった。私はいつも自分が同級生や教師の進度より先にいると感じ、授業はほとんど聞かず、とりわけ数学と理科の科目では、ほぼすべて自分で本を読み考え、先に練習問題を解いていた。結果も少しずつ順風満帆に突き進む感じがあった。小学校の算数オリンピックで全国二等賞を取り、中学最初の統一試験では学年二位に百点以上の差をつけて楽々とトップになり、さらに高校は特待で市の第一高校に入った。

高校の数学の学習で、私は自分の能力の天井を感じ始めた。日常の学習と試験にはさほど困らず、数学の試験では依然として満点をよく取った。しかし問題の難度が上がると、小学校のとき方程式で解いたあの瓜を切るような軽さはなくなり、とりわけ高校の数学オリンピックでは力が及ばなかった。もっとも、このことは最初のうち私をそれほど焦らせなかった。高三の模擬試験でも、数学はほぼ145点以上、満点に近い状態だった。担任は数学の教師で、今の高考の状況からすれば、これ以上数学を深く研究する時間を費やす必要はなく、もっと国語と英語に時間をかけたほうが収益が高い、とまで言った。

そして、高考の歴史の中でもちょっと名高い2003年の高考。数学の解答用紙の難度は例年をはるかに超えていた。普段数学の成績がまずまずだった私の男子同級生は、泣きながら試験場から出てきた。私も大して変わらなかった。選択肢問題と穴埋め問題の時点で強い違和感を覚え、最初の立体幾何の大問に至っては、ついに解き切れなかった。伝統的に、この問題は「点をくれる問題」と呼ばれているものだ。私はなんとかして自分の精神状態を落ち着けようとし、さらには最後の追加問題に挑む時間まで費やしたが、結果は期待に沿わず、110点余りだった。幸い、その後の理科総合では、問題も難しかったが、私は心を保つことができ、最終的な総点は清華・北大の合格ラインと5点ほどの差だった。当時の私は大学について実は何も知らず、社会の世論の中で清華・北大はよい学校だという説を受け入れていただけだった。普段の学習の状況からすれば合格して当然のはずで、最後に合格しなかったことを、私は自然と失敗と解釈した。後に中国科学技術大学のコンピュータ学科に入ったが、この失敗の影は私を長年覆い、私の大学生活と最初の職業選択は今から見れば惨憺たるものだった。

三十歳を過ぎ、家庭を持ち仕事を持つようになってから、私はようやくこれらのことに対して少しずつ心を解いた。まず自分を解いたのは、これは視野の問題だと思い至ったことだ。当時の私にとって中科大に入ることは、正しい選択肢を失った後のやむを得ない選択だった。私の視野が、大学生活をどう始めればよいかを知らせなかった。もっと広い意味では、中科大に入ることは疑いなく成功であり、当時の私にはその成功感が感じられず、また誰も、大学の学習がもともと中学よりはるかに難しいのだと私に本当に理解させてくれなかった。中科大のキャンパスに入ったばかりのとき、多くの先輩が食堂の前で露店を出して本を売っていたのを覚えている。多くはトフルとGREの単語帳だった。当時の私はそれを見て、ぼんやりと、そして反感を覚えた。留学を志す者たちが、選択が正しいかどうかは別として、少なくとも計画を持ち、選択を持っていたことに、私はまったく気づいていなかった。

そして、視野だけではすべてを説明できないとも思った。農村から出た子どもたちの中にも、大学に入ってから水を得た魚のように、すぐに私より高い高みに達した者がいる。では、これは知能の問題なのか。私の知能が大学の学習を支えるに足りず、大学の数学が分かったような分からないような状態になり、試験の点数は悪くなかったものの徹底的に理解できず、そのため何年も後に人工ニューラルネットワークを研究したとき、数学の欠課が多すぎると感じるのか。しかし知能という概念自体がもともと空虚で、それは次のことさえ説明できない。もし私が本番で調子を崩して中科大に入ったのなら、なぜ同じような点数で中科大に入った私の大学の同級生の多くが、大学でも私より充実した生活を送り、卒業後の発展もよりよかったのか。彼らはもともと私より賢く、ただ私より多く調子を崩しただけだ、とはさすがに言えないだろう。

最後に、私は自信と勇気へと疑いを向けた。高考が私の自信と勇気を打ち砕き、微妙な敗北感を生んだからこそ、大学生活のぼんやりとした日々が生まれたのではないか。しかしこれは他人に語るに足りない隠微な心理体験で、以前は家族にしか話したことがなかった。自分をここまで解剖して、私は『数学の覚醒』の話に戻ることができる。なぜこの本が私を感動させたのかを。この本はフランスの数学者の手になるもので、自分自身と、アインシュタイン、デカルトなど一級の数学者・科学者が数学を研究するときの心理的風景を分析し、私を完全に解き放ち、自分と和解させてくれた。

作者は、名の知られた数学者でありながら、ほとんどどんな数学者向けの専門書も読み通すことが難しいこと、数学の博士課程の学生の学位論文の解説も聞き取れないことを、勇気をもって認めている。アインシュタインはある中学生に、自分が直面している数学上の困難は中学生より少なくない、と語った。これらは謙遜や社交辞令ではなく、誠実な言葉である。数学者も普通人と同じように、数学の前で巨大な困難に直面する。ではなぜ、人と人の間の数学的能力の差はこれほど大きいのか。蘇炳添の百メートルの記録は9秒83で、四肢健全な普通の人は蘇炳添には勝てないが、せいぜい20秒、30秒あれば走り切れる。しかし数学における人と人の差は、ある者は百メートルを走るのに一時間かかるかのようだ。

数学が関わるのは抽象的対象の想像と操作であり、これは誰もが生まれつき持つ能力である。しかしこれらの抽象的対象の頭の中での想像と操作は、言語や運動と違い、模倣によって学ぶことが難しい。だから多くの人が早々に諦め、自分には才能がないと定義してしまう。論理推論は数学の一つの表現言語にすぎず、月を指す指であって、数学のすべての真実ではない。数学がまず関わるのは好奇心と想像力であり、最終的には直観である。これらはいずれ「天井」に突き当たる。この「天井」を何度も突き抜けた人が、数学者と呼ばれる。ここに関わるのは知能ではなく、勇気と自信である。抽象的な概念の前では、巨大な無知感が人を容易に打ち倒す。しかし、最も偉大な数学者が直面する無知も同じように恐ろしいものだと知り、そのうえで彼らの到達した高みを見れば、少なくともいくばくかの勇気が湧いてくる。上を目指して取れば中を得る。もちろんデカルトのような偉大な数学者になれる者は少ないが、確かなことは、数学において大部分の人は自分を大きく過小評価しているということだ。私を含めて。

信じることによってのみ、それは存在し実現する。数学はある意味で自己成就的な予言であり、人生もまたそうではないだろうか。

愚かな者は一度で全額を賭けてしまうだろう。勝つ確率のほうが負ける確率より高いのだから。だが40%の確率で、一瞬にして無一文になる。

毎回、残った元手の一定の割合を賭けるとしよう。その割合はいくらが適切か。100回賭けて60回勝ち、40回負けるとすれば、割合を$x$として、利益は

$f(x)=10000*(1+x)^{60} *(1-x)^{40}$

この最大値を求めればよい。

一般に、1を投じるごとに追加の収益Wを得るか、元本Lを失うかするとし、勝率をp、敗率をqとすれば、期待収益は

$$f(x)=(1+Wx)^{p} (1-Lx)^{q} $$

最大値を求めるため、まず導関数を求める。

$$f^{’}(x)=Wp(1+Wx)^{p-1} (1-Lx)^{q} -L(1-p)(1+Wx)^{p} (1-Lx)^{q-1}=0$$

容易に次が得られる。

$$x=\frac {bp-q} {bL}$$

L=1、つまり負ければ元手がすべて失われるとき、この式をケリーの公式と呼ぶ。冒頭の問題ではp=0.6、q=0.4、b=1であり、x=20%と計算できる。つまり毎回、現在の元手の20%を投じるべきだ。勝率が0.9ならx=0.8。勝率が0.5ならx=0、五分五分の賭博には決して参加してはならない。勝率が0.5を下回るなら、なおさらである。

ケリーの公式は近似にすぎず、多くの仮定を置いている。何度も繰り返し博弈できること、資金が無限に分割できること、勝率が安定していること。投資の営みとは隔たりが大きい。それでも投資の大まかな見積もりの道具にはなる。ケリーの公式から見れば、一定の現金を残し、それを元手に立て直す備えをしておくことは十分に必要だ。投資において確率の計算は欠かせない。投資における勝率の見積もりそのものが、いわば玄学めいているとしても、グレアムが言ったように、定量計算が難しいからといって定量計算を放棄することはできない。