自然数数字幂和的周期性

**摘要：**本文探讨的问题源自数学小游戏“一个数的数字平方和”：即计算任意十进制自然数的各位数字的平方和，并对结果反复计算，形成的序列都会出现循环。通过分析序列单调性及运用抽屉原理，本文证明了序列出现循环节的必然性，并将平方和推广到任意次幂和。本文还探讨了此类周期性现象的本质原因。

**关键词：**数字幂和 周期性 自然数变换 抽屉原则

1 问题描述

文献¹有介绍数学游戏“一个数的数字平方和”：我们从任何一个正整数开始，比如9246，求出他的各位数字的平方和（81+4+16+36=137）。再对这个数做同样的事情（137给出1+9+49=59），并且对每次所得结果重复这一步骤，这样便得到一个整数序列。对于我们的例子，这个序列是9246，137，59，106，37，58，89，145，42，20，…

那么，不论开始是人们选取什么整数，所得到的序列，要么出现数1（而在1之后显然就永远重复这个数字），要么出现数4（而在4之后就一直循环地出现4，16，37，58，89，145，42，20）。

对上述是问题稍作推广有一般的自然数数字幂和问题

$$ P_k $$

。

$$ P_k$$:对$$m$$位十进制自然数$$N$$， $$

N=\overline{a_{m-1}a_{m-2}…a_{1}a_{0}}=\sum_{0\leqslant i< m}{a_i\times 10^i}(a_i\in{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9})

$$ 其$$k$$次数字幂和为 $$

S_k(N)=\sum_{0\leqslant i<m}a_i^k

$$ 定义其复合 $$

\begin{equation} \left{ \begin{aligned} S_k^{(0)}(N)&=N \ S_k^{(t)}(N)&=S_k^{(t)}(S_k^{(t-1)}(N)) \ \end{aligned} \right. \end{equation}

$$ 则序列$${S_k^{(t)}(N)}$$一定会出现周期循环，即对任意充分大的t，存在周期T，使得$$S_k^{(t)}(N)=S_k^{(t+T)}(N)$$。而且循环节$${S_k^{(t)}(N),S_k^{(t+1)}(N)…S_k^{(t+T)}(N)}$$的种类是有限的。

“一个数的数字平方和”描述的即为问题$$P_2$$。

2 P2的证明

2.1 N充分大时的序列单调性分析

通过观察不难做直观上的猜测：$$N$$充分大时，$$N$$的数字平方和比$$N$$小。即 $$

S_2(N)<N (N\geqslant N_0)

$$ 下面分析得到一个下界$$N_0$$，对于$$m$$位数$$N$$有$$N\geqslant10^{m-1},S_2(N)\leqslant81m$$，令$$81m<10^{m-1}$$得$$m\geqslant4$$，则此时必有$$S_2(N)<N$$。于是我们得到一个下界$$N_0=1000$$。

于是对于充分大的N，序列$${S_2^{(t)}(N)}$$的前面一些项是递减的，直至出现小于*$$N_0$$*的项$$S_2^{(t_0)}(N)$$，且$$t_0\leqslant N$$。

2.2 验证性证明

由前述分析，对于任意N，序列$${S_2^{(t)}(N)}$$会一定出现小于*$$N_0$$的项，因此我们有如下引理*$$P_2’$$**。

$$P_2’$$: 如果$$N<N_0$$时，**$$P_2$$成立，则对于任意$$N$$，$$P_2$$**成立。

用计算机程序甚至手动筛除都不难验证，对于1~999的自然数，**$$P_2$$成立。出现的循环节共有两种，不动点{1}和{4,16,37,58,89,145,42,20}。于是对于任意$$N$$，$$P_2$$成立。至此我们得到了$$P_2$$**的完整证明，注意到我们逐一验证了$$N<N_0$$的自然数，这是一个平凡的做法。

3 Pk的证明

3.1 N充分大时的序列单调性分析

类似2.1，我们可以找到一个下界$$N_0$$，使得$$S_k(N)<N (N\geqslant N_0)$$。对于$$m$$位数有$$N\geqslant10^{m-1},S_k(N)\leqslant9^k\times m$$，令$$9^k\times m<10^{m-1}$$。$$A(m)=9^k\times m$$是线性函数，$$B(m)=10^{m-1}$$是指数函数，故不等式必有解$$m\geqslant m_0$$。总能找到下界$$N_0=10^{m_0}$$。如$$k=3$$时，取$$m_0=5, N_0=10000$$。

于是对于充分大的$$N$$，序列$$S_k^{(t)}(N)$$的前面一些项是递减的，直至出现小于$$N_0$$的项$S_k^{(t_0)}(N)$，且$t_0<N$。

3.2 Pk的构造性证明

类似2.2，我们有如下引理$$P_k’$$。

$$P_k’$$:如果$$N<N_0$$时，$$P_k$$成立，则对于任意$$N$$，$$P_k$$成立。

对于具体的$$k$$值，我们依然可以用2.2中的方法：先可以找到下界$$N_0$$，然后验证所有小于$$N_0$$的自然数$$P_k$$成立。

如对$$k=3$$，验证1~9999的自然数，发现$$P_3$$成立，于是对于任意$$N$$，$$P_3$$成立。出现的循环节有如下9种：

{1},{153},{370},{371},{407},{55,250,133},{136,244},{160,217,352},{919,1459}。

但对于一般的$$P_k$$，我们要证明循环节的存在性，不能去一一验证。下面用抽屉原则给出一个构造性证明。

首先换个角度理解循环节的存在，即序列$${S_k^{(t)}(N)}$$中出现重复项。我们有如下引理$$P$$。

$$P$$：对于任意$$N$$，若序列$${S_k^{(t)}(N)}$$中出现重复项，则$$P_k$$成立。下面我们证明对于$$N<N_0$，${S_k^{(t)}(N)}$$中必然出现重复项。

我们称$$N<N_0$$为震荡域，反之为下降域。序列前后两项，可能由震荡域进入下降域，但由3.1的分析知，序列经过有限的长度，一定会再进入震荡域。于是序列在震荡域取值可达$$N_0$$次（实际上是无穷次），而震荡域的不同值小于$$N_0$$，由抽屉原则知，必有两次取值相同，序列中必然出现重复项。另外循环节种类小于$$N_0$$，一定是有限的。至此由引理$$P$$可知$$P_k$$得证。

4 进一步的思考

对于问题$$P_k$$中的循环节也有相关研究，比如$$P_k$$中的$k$位不动点被称为回归数，如$k$取3时共有4个回归数153、370、371、407。²

证明过程本质上与进制关系不大，事实上对于任意进制，自然数数字幂和都有周期性，这里也不再赘述。

自然数数字幂和是一种定义域与值域都是自然数的函数，不妨称这种函数为自然数变换。

对于自然数$$N$$反复施用自然数变换S，得到序列$${S_k^{(t)}(N)}$$，由$$P_k$$的证明不难理解序列出现循环的充要条件是$$N$$重复大时，$$S(N)<N$$。序列会逐渐减小直至到达一个有限的震荡域出现循环。这里就不再给出具体的证明了。

参考文献：